一元二次方程教案

时间：2024-09-11 16:30:57 教案我要投稿

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一元二次方程教案

　　作为一名默默奉献的教育工作者，总归要编写教案，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。来参考自己需要的教案吧！下面是小编为大家收集的一元二次方程教案，欢迎大家分享。

一元二次方程教案

一元二次方程教案1

　　教学内容

　　一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

　　教学目标

　　了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目。

　　1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义。

　　2．一元二次方程的一般形式及其有关概念。

　　3．解决一些概念性的题目。

　　4．态度、情感、价值观

　　4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

　　重难点关键

　　1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的'有关概念并用这些概念解决问题。

　　2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

　　教学过程

　　一、复习引入

　　学生活动：列方程．

　　问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

　　大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

　　如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．

　　整理、化简，得：__________．

　　问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

　　如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．

　　整理，得：________．

　　老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

　　二、探索新知

　　学生活动：请口答下面问题．

　　（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

　　（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

　　（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

　　因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

　　一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

　　例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

　　分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

　　解：去括号，得：

　　40-16x-10x+4x2=18

　　移项，得：4x2-26x+22=0

　　其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．

　　例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

　　分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

　　解：去括号，得：

　　x2+2x+1+x2-4=1

　　移项，合并得：2x2+2x-4=0

　　其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．

　　三、巩固练习

　　教材P32练习1、2

　　四、应用拓展

　　例3．求证：关于x的方程（2-8+17）x2+2x+1=0，不论取何值，该方程都是一元二次方程．

　　分析：要证明不论取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明2-8+17≠0即可．

　　证明：2-8+17=（-4）2+1

　　∵（-4）2≥0

　　∴（-4）2+1>0，即（-4）2+1≠0

　　∴不论取何值，该方程都是一元二次方程．

　　五、归纳小结（学生总结，老师点评）

　　本节课要掌握：

　　（1）一元二次方程的概念；

　　（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

　　六、布置作业

一元二次方程教案2

　　教材分析

　　1．本节在引言中的方程基础上，首先通过两个实际问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后引导学生观察出它们的共同点，得出一元二次方程的定义。

　　2．书中的定义是以未知数的个数和次数为标准，用文字的形式给出的。一元二次方程都可以整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，即一元二次方程的.一般形式。

　　3、本节始终都有列方程的内容，这样安排一方面是分散列方程这一教学难点，化整为零地培养由实际问题抽象出方程模型的能力；另一方面是为由一些具体的方程归纳出一元二次方程的概念。

　　学情分析

　　1、通过课堂练习，大部分学生对概念基本理解，能够找出各项系数，但有少数学困生对于系数符号没有掌握。

　　2、部分学生由于基础较薄弱，用一元二次方程解决实际问题有一定的难度，解决这问题要以多练为主。

　　3、学生认知障碍点：一元二次方程与不等式和整式的综合运用能力有待提高。

　　教学目标

　　1、从实际问题引出一元二次方程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生分析问题和解决问题的能力及用数学的意识。

　　2、使学生正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

　　3、通过概念教学，培养学生的观察、类比、归纳能力，同时通过变式练习，使学生对概念理解具备完整性和深刻性。

　　教学重点和难点

　　1、重点：概念的形成及一般形式。

　　2、难点：从实际问题引出一元二次方程；正确识别一般形式中的“项”及“系数”。

一元二次方程教案3

　　教学目标

　　(1)会用公式法解一元二次方程;

　　(2)经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力;

　　(3)渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美.

　　教学重点

　　知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;

　　能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.

　　教学难点:求根公式的推导.

　　总体设计思路:

　　以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.

　　教学过程

　　整体教学流程：形成表象,提出问题

　　分析问题,探究本质

　　得出结论,解决问题

　　拓展应用,升华提高

　　归纳小结,布置作业.

　　形成表象,提出问题

　　在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.

　　解下列一元二次方程:(学生选两题做)

　　(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;

　　(3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0.

　　然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?

　　接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:(学生不做,思考其解题过程)

　　(1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0;

　　(3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0.

　　思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?

　　设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;

　　2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.

　　分析问题,探究本质

　　由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的.操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.

　　进而提出下面的问题:

　　既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?

　　让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.

　　ax2+bx+c=0(a≠0) 注:根据学生学习程度的不同,可

　　ax2+bx=-c 以采用学生独立尝试配方, 合x2+

　　x=-

　　作尝试配方或教师引导下进行

　　x2+

　　配方等各种教学形式.

　　(x+

　　)2=

　　然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.

　　当b2-4ac≥0时，

　　(x+

　　)2=

　　注:这样变形可以避免对a正、负的讨论,

　　便于学生的理解.

　　x=-

　　即x=

　　x1=

　　, x2=

　　当b2-4ac<0时，

　　方程无实数根.

　　设计意图:让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.

　　得出结论,解决问题

　　由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定. 当b2-4ac≥0时，

　　;

　　当b2-4ac<0时，方程无实数根.

　　这个式子对解题有什么帮助?通过讨论加深对式子的理解,同时让学生进一步感受到数学的简洁美、和谐美.

　　进而阐述这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.

　　运用公式法解一元二次方程.(设计两个环节:共同练习和独立完成)

　　[共同练习]

　　(1)2x2-x-1=0; (2)4x2-3x+2=0 ;

　　(3)x2+15x=-3x; (4)x2-

　　=0.

　　此环节的设计意图:进一步阐述求根公式,归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.

　　[独立完成]

　　用公式法解一元二次方程:

　　(1)x2+x-6=0; (2)x2-

　　=0; (3)3x2-6x-2=0;

　　(4)4x2-6x=0; (5)x2+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x.

　　此环节的设计意图:能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获.

　　拓展运用，升华提高

　　分两个环节：用一用和想一想(此环节基于学生课堂掌握的情况而定,可作为课后思考题).

　　[用一用]

　　解决本章引言中的问题:

　　要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?

　　雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:

　　即BC2=2AC.

　　设雕像下部高xm,于是得方程

　　x2=2(2-x)

　　整理得:x2+2x-4=0.

　　解这个方程,得

　　x1=-1+

　　,x2=-1-

　　精确到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.

　　考虑实际意义, x≈1.236.所以雕像下部高度应设计约为1.236m.

　　在前面的基础上进一步提问: (结合学生的实际情况,可以放在课后思考.)

　　(1)如果雕像的高度设计为3m,那雕像的下部应是多少?4m呢?

　　(2)进而把问题一般化,这个高度比是多少?

　　之后简单介绍黄金分割数,使学生感受到数学的奥妙.

　　此环节的设计意图:①运用所学的知识解决实际问题;②能力层面上的拓展----化归思想.

　　[想一想]

　　清清和楚楚刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由.

　　此环节的设计意图:基于学生基础较好,因此对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同提高.

　　归纳小结,布置作业

　　结合上面用一用,让学生尝试对本节课的知识进行梳理,对方法进行提炼,从而使学生的知识和方法更具系统化和网络化,同时也是情感的升华过程.

　　作业: (结合学生的实际情况,可以分层布置.)

　　㈠作业本;

　　㈡拓广探索:P46第12题

　　㈢阅读思考P46-----黄金分割数,有兴趣的同学可以上网查阅相关资料,或进一步探究根与系数的其他关系.

一元二次方程教案4

　　一、复习引入

　　导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？

　　二、探究新知

　　1.课本思考

　　分析：将（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.

　　2.跟踪练习

　　求下列方程的两根x1、x2.的和与积.

　　x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0

　　3.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？

　　分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？

　　4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a如何教育如何教育不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的`关系吗？

　　分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.

　　5.跟踪练习

　　求下列方程的两根x1、x2.的和与积.

　　13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；

　　25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x

　　6.拓展练习

　　1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=,c=.

　　2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是,k的值是.

　　3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p=若两个根互为倒数，则q=.

　　分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数?

一元二次方程教案5

　　教学目标

　　1.能够利用配方的方法，得到实系数一元二次方程的求根公式，会在复数集中解实系数一元二次方程。

　　2.能够模仿初中学过的分解因式的方法，在复数范围内对二次三项式进行因式分解。

　　3.能够类比初中学过的根与系数的关系，推导出实系数一元二次方程根与数的关系。

　　教学重点与难点

　　1.在复数集中解实系数一元二次方程；

　　2.在复数范围内对二次三项式进行因式分解.

　　教学流程

　　配方—-求根公式——练习分解因式——韦达定理

　　教学过程

　　1.复习实数的平方根

　　实数a的`平方根=

　　2.最简单的一元二次方程

　　3.推广

　　4.请同学们自己编一道解为共轭虚根的一元二次方程，并求解。

　　5.研究实系数一元二次方程的解

　　以上方程中的系数都是实数，今天我们研究实系数一元二次方程的解。

　　6.回头再解前面的方程

　　7.分解因式

　　8.韦达定理

　　对于实系数一元二次方程，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：，（即韦达定理）.

　　实系数一元二次方程的韦达定理：

　　特别地，当时，为一对共轭虚根，即，∴，.

　　9.课后练习：

　　（1）在复数集中分解因式：.

　　（2）方程在复数集中解的个数为（）

　　（A）2（B）4（C）6（D）8

　　（3）在复数范围内解方程(i为虚数单位).

　　（4）已知1-i是实系数一元二次方程的一个根，则=.

　　（5）若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为.

　　（6）在复数集中分解因式：=.

　　（7）若方程有虚数根z，则|z|=.

一元二次方程教案6

　　一、教学目标

　　1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

　　2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。

　　3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

　　2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系。

　　3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。

　　4．解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的'基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。

　　三、教学过程

　　1．复习提问

　　（1）列方程解应用问题的步骤？

　　①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。

　　（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）

　　2．例题讲解

　　例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。

　　分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a．设较小的奇数为x，则另一奇数为，b．设较小的奇数为，则另一奇数为；c．设较小的奇数为，则另一个奇数。

　　以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。

　　解法（一）设较小奇数为x，另一个为，

　　据题意，得

　　整理后，得

　　解这个方程，得。

　　由得，由得，

　　答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。

　　解法（二）设较小的奇数为，则较大的奇数为。

　　据题意，得

　　整理后，得

　　解这个方程，得。

　　当时，

　　当时，。

　　答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。 第 1 2 页

一元二次方程教案7

　　一、教材

　　1．教学内容：

　　本节课是北师大版九年级上第二章第五小节第一课时。内容是一元二次方程在几何和实际生活中的应用。

　　2．本节课在教材中所处的地位和作用：

　　《一元二次方程》这一章是前面所学知识的继续和发展，尤其是一元一次方程、二元一次方程（组）等内容的深入和发展，是方程知识的综合运用。学好这部分知识，为九下学习一元二次函数知识打下扎实的基础，是后继学习的前提。而本节内容是一元二次方程的实际应用，是一元二次方程的最后部分。当然，尽管是最后一部分内容，但在本章的2～4节探索医院二次方程解法的过程中已经涉及到了一些关于一元二次方程的应用题，因此学生对此并不陌生，已经积累了一定的经验。

　　3．教学目标

　　（1）经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。

　　（2）通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

　　4．教材的重点：掌握运用方程解决实际问题的方法。

　　5．教材的难点：建立方程模型。

　　二、教法：

　　选取现实生活中的题材，调动兴趣，探索、解决问题，讲练结合。

　　三、学法：

　　通过阅读细化问题、逐步解决问题

　　四、教学过程：

　　（一）导入新课，隐射教学目标

　　1．观察图片：古埃及胡夫金字塔，古希腊巴特农神庙，上海东方明珠电视塔，它们都是古今中外历史上著名的建筑，在这些建筑的设计上都运用到了数学一个很奇妙的知识——黄金分割。

　　2．释疑：你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的`吗？如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果_______________那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比（0.618）。黄金比为什么等于0.618 ？方程能帮助我们解决这个问题吗？让我们一起来做一做。解：由=，得AC2=AB·CB 设AB=1， AC=x ，则CB=1－x ，代入上式， x2=1×(1－x) 即：x2+x－1=0 解这个方程，得 x1= , x2=（不合题意，舍去）所以：黄金比=≈0.618

　　(二) 一元二次方程还能解决什么问题？例1：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向。一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

　　（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）『分析』（设置一些小问题）：

　　①你能在图中找到表示小岛F的点吗？在本题中，实际要求的是什么？

　　②这是一个路程问题，路程=____________×___________。在本题中，从出发到相遇，军舰、补给船的航线路线分别是图中的哪些线段？两艘船的时间、速度、路程已知吗？两艘船的时间、速度、路程各有什么关系？

　　③你能用含有一个未知数的代数式来表示军舰和补给船各自的路程吗？

　　④你能借助图中的特殊图形解决本题的两个问题吗？解：

　　（1）连接DF，则DF⊥BC， ∵AB⊥BC，AB=BC=200海里 ∴AC=AB=200海里，∠C=45° ∴CD=AC=100海里 DF=CF，DF=CD ∴DF=CF=CD=×100=100海里所以，小岛D和小岛F相距100海里。

　　（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里 EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+(300－2x)2 整理得， 3x2－1200x+100000=0 解这个方程，得：x1=200－≈118.4 x2=200+(不合题意，舍去) 所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。这部分教学设计意图：通过前面的学习，学生对一元二次方程在实际问题中的应用已经有了一定的了解，在本课的学习中，我们联系实际选取例题，通过这个例题详细展示了应用题的分析方法、解题过程，要求学生能用自己的语言归纳解题的一般步骤，从而培养学生的阅读能力、建立方程模型解决实际问题的能力。

　　（三）练一练例2：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半? 『分析』（设置一些小问题）：

　　①本题同样涉及的是行程问题，在本题中，时间、速度、路程这三个量哪些是已知的？哪些是未知的？通过假设未知数，你能将各未知量表示出来吗？未知量和已知之间有什么关系？未知量与未知量之间有什么关系？

　　②点P、Q的路程在右图中分别对应哪些线段？在右图中你还能表示出哪些线段的长？问题中涉及的两个三角形的面积分别该如何表示？解：设x秒后，△PCD的面积是RT△ABC的一半，由题意得：整理得：

　　6.答: 答案也必需是完事的语句。列方程解应用题的关键是：找等量关系，本题中找等量关系的方法是“图示法”，常用的方法还有“列表法”等。

一元二次方程教案8

　　【教学目的】精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。

　　【课前练习】

　　1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当a_____时，方程为一元二次方程。

　　2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。

　　【典型例题】

　　例1下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

　　(A) x2+2x+3＝0 (B) x2-2x+3＝0 (c) x2-2x-3＝0 (D) x2+2x+3＝0

　　错答：B

　　正解：C

　　错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。

　　例2若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2＝0两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（）

　　(A) k＞-1 (B) k＜0 (c) -1＜k＜0 (D) -1≤k＜0

　　错解：B

　　正解：D

　　错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

　　例3（20xx广西中考题）已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

　　错解:由△＝(-2 )2-4(1-2k)(-1)＝-4k+8＞0得k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即k的取值范围是-1≤k＜2

　　错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

　　正解：-1≤k＜2且k≠

　　例4（20xx山东太原中考题）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。

　　错解：由根与系数的关系得

　　x1+x2＝-（2m+1）, x1x2＝m2+1,∵x12+x22＝(x1+x2)2-2 x1x2

　　＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）

　　＝2 m2+4 m-1

　　又∵ x12+x22=15

　　∴ 2 m2+4 m-1=15

　　∴ m1＝-4 m2＝2

　　错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m＝-4时，方程为x2-7x+17＝0，此时△＝（-7）2-4×17×1＝-19＜0，方程无实数根，不符合题意。

　　正解：m＝2

　　例5若关于x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围。

　　错解：△＝[-2(m+2)]2-4(m2-1)＝16 m+20

　　∵ △≥0

　　∴ 16 m+20≥0，∴ m≥ -5/4

　　又∵ m2-1≠0，∴ m≠±1

　　∴ m的取值范围是m≠±1且m≥ -

　　错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0是关于未知数x的'方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m2-1＝0和m2-1≠0两种情况。当m2-1＝0时，即m＝±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。

　　正解：m的取值范围是m≥-

　　例6已知二次方程x2+3 x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

　　错解：∵方程有整数根，∴△＝9-4a＞0，则a＜2.25

　　又∵a是非负数，∴a＝1或a＝2

　　令a＝1，则x＝-3±，舍去；令a＝2，则x1＝-1、 x2＝-2

　　∴方程的整数根是x1＝-1，x2＝-2

　　错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a＝0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3＝0，x4＝-3

　　正解：方程的整数根是x1＝-1，x2＝-2，x3＝0，x4＝-3

　　【练习】

　　练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。

　　（1）求k的取值范围；

　　（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。

　　解：（1）根据题意，得△＝(2k-1)2-4 k2＞0解得k＜

　　∴当k＜时，方程有两个不相等的实数根。

　　（2）存在。

　　如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+ x2=- =0，得k＝。经检验k＝是方程-的解。

　　∴当k＝时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。

　　读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。

　　解：上面解法错在如下两个方面：

　　（1）漏掉k≠0，正确答案为：当k＜时且k≠0时，方程有两个不相等的实数根。

　　（2）k＝。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数

　　练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-1＝0只有正实数根?

　　解：（1）当a＝0时，方程为4x-1＝0，∴x＝

　　（2）当a≠0时，∵△＝16+4a≥0 ∴a≥ -4

　　∴当a≥ -4且a≠0时，方程有实数根。

　　又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：

　　x1+x2＝-＞0；

　　x1. x2＝-＞0解得：a＜0

　　综上所述，当a＝0、a≥ -4、a＜0时，即当-4≤a≤0时，原方程只有正实数根。

　　【小结】

　　以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

　　1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。

　　2、运用根与系数关系时，△≥0是前提条件。

　　3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。

　　【布置作业】

　　1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-9＝0有两个正根？

　　2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+5＝0（m≠0）没有实数根。

　　求证：关于x的方程

　　（m-5）x2-2（m+2）x + m＝0一定有一个或两个实数根。

　　考题汇编

　　1、（20xx年广东省中考题）设x1、 x2是方程x2-5x+3＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。

　　2、（20xx年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-1＝0

　　（1）若方程的一个根为1，求m的值。

　　（2）m＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。

　　3、（20xx年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+ m2＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。

　　4、（20xx年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q＝0的两个根，且x1+x2＝6，x12+x22＝20，求p和q的值。

一元二次方程教案9

　　教学目标：

　　（一）知识技能目标：

　　1初步感受有些事件的发生是不确定的，有些事件的发生是确定的。

　　2会区分生活中的必然事件、不可能事件和随机事件。

　　3在经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程中，让学生学会合作交流。

　　（二）过程方法目标：

　　通过实际情境让学生认知生活中有确定事件和随机事件，结合合作探索活动让学生建立数学知识模型并运用于生活、服务于生活。

　　（三）情感态度目标：

　　激发学生的探索精神与创造力，建立起学习数学的信心，感受数学的无限乐趣。

　　教学重点：

　　正确理解、区分生活中与数学中的必然事件、不可能事件和随机事件。

　　教学难点：

　　区分生活中的事件类型，做出合理决策。

　　教学过程：

　　一联系实际创设情境引入新课

　　1教师出示乒乓球，引出下例：

　　2某次国际乒乓球比赛中,中国选手甲和乙进入最后的决赛,那么该项比赛的

　　(1)冠军属于中国吗?

　　(2)冠军属于外国选手吗?

　　(3)冠军属于中国选手甲吗?

　　（通过学生熟悉而又简单的.问题让学生感知生活中的现象，从而激发兴趣，引入新课）

　　3通过学生的回答引出课题《确定与不确定》

　　二感知生活中的确定与不确定

　　说一说：（1）生活中有哪些事情是我们确定的？

　　（2）生活中有哪些事情是我们不确定的？

　　（小组讨论，让学生联系生活，再次感知，从而进一步激发兴趣）

　　三建立数学知识模型（通过上述学生的举例感知生活中的确定与不确定事情，从而给出三种事件的概念，让学生更容易理解）

　　在特定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这样的事情是不可能事件.

　　在特定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定会发生,这样的事情是必然事件.

　　在特定条件下,生活中有很多事情事先无法确定它会不会发生,这样的事情是随机事件.

　　四知识理解把握本质

　　练习:下列事件中哪些是不可能事件,那些是必然事件,那些是随机事件?

　　1.抛掷一个均匀的骰子,6点朝上。

　　2.打开电视,它正在播广告。

　　3.小明家买彩票将获得500万元彩票大奖。

　　4.明天一定下雨。

　　5.妇幼保健院，下一个出生的婴儿是女孩子。

　　6.1+3>2

　　7.三角形三个内角的和是180度。

　　8.如果a，b都是有理数，那么ab=ba

　　（对于概念的学习，要通过多次感知，不断强化，在初步感知概念后，要通过及时的辨别分析，真正认识概念的本质）

　　（通过第七、八两小题让学仿照再举几例，使学生认识到以前所学习的大量的公式、法则等一般来说都是必然事件。）

　　五分组学习，其乐融融

　　1小组竞赛：

　　分别举出生活的必然事件、不可能事件和随机事件（将全班同学分成三组，分别举出必然事件、不可能事件和随机事件，通过活动更加深了对概念的理解，也调动了学生的兴趣）

　　2数学实验室：

　　摸球游戏：规则:共有15个白球,5个黑球.每次只能摸5个球,摸到5个黑球为一等奖,依次类推.

　　(1)学生动手摸奖,体会中奖的可能性,感受到身边的事情.

　　(2)设计游戏:你能仿照上面的游戏自己设计几个游戏吗?(一个是必然事件,一个是不可能事件,一个是随机事件)

　　（联系生活实际，体会生活中处处有数学，学有用的数学）

　　（用学生非常感兴趣的摸奖，既能加深对三种事件的理解，又能调动学生的积极性，活跃课堂气氛，同时也为下面的可能性埋下伏笔）

　　六故事：《田忌赛马》

　　齐王和田忌都有上等马、中等马和下等马3种，可是田忌的各个等级的马都比齐王同等级的马差一些？

　　想一想：田忌和齐王赛马是否一定会输？为什么？

　　七观察分析探究

　　改变开头例子中的条件:

　　(1)如果进入决赛的是两个外国人问题如何回答?

　　(2)如果进入决赛的一个中国人,一个外国人问题又如何回答呢?

　　通过例子发现必然事件,不可能事件,随机事件三者在一定条件下可以相互转化,让学生体会概念中的“特定条件”。

　　八小结：通过本节课的学习你有什么感受?

　　九课后练习:

　　1用适当的语言来表示下列词语所反映的事件发生情况?

　　东边日出西边雨?十拿九稳?大海捞针?海枯石烂

　　2小名、小芳和小圆每人各买一瓶饮料,在供购买的20瓶饮料中,有两瓶已经过了保质期.请根据以上这段话,设计一个不可能事件,一个必然事件,一个随机事件?

　　十板书设计:

　　确定与不确定

　　不可能事件

　　确定事件

　　必然事件

　　随机事件---不确定事件---可能会发生,也可能不会发生

　　三种事件在一定条件下可以相互转化

一元二次方程教案10

　　1、教材分析

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　重点：①确定圆的定理.它是圆中的基础知识，是确定圆的理论依据；②不在同一直线上的三点作圆.“作圆”不仅体现在证明“确定圆的定理”的重要作用，也是解决实际问题中常用的方法；③反证法证明命题的一般步骤.反证法虽是选学内容，但它是证明数学命题的重要的基本方法之一.

　　难点：反证法不是直接以题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题正确，又因为矛盾的多样化，学生刚刚接触，所以反证法不仅是本节的难点，也是本章的难点.

　　2、教学建议

　　本节内容需要两个课时.在第一课时过三点的圆的教学中：

　　（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体和发现问题、解决问题的能力上.让学生作图、观察、分析、概括出定理.

　　（2）组织学生开展“找直角、锐角和钝角三角形的外心”的位置活动，在激发学生的学习兴趣中，提高作图能力.

　　（3）在教学中，解决过已知点作圆的问题，应紧紧抓住对圆心和半径的探讨，已知圆心和半径就可以作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思路，因此作圆的问题就是如何根据已知条件去找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定，因此作圆的问题又变成了找圆心的问题，是否可以作圆以及能作多少个圆，都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数.

　　在第二课时反证法的教学中：

　　（1）对于A层的学生尽量使学生理解并会简单应用，对B层的学生使学生了解即可.

　　（2）在教学中老师要精讲：①为什么要用反证法；②反证法的基本步骤；③精讲精练.

　　第一课时

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。

　　2．了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

　　（二）能力训练点

　　1．培养学生观察、分析、概括的能力；

　　2．培养学生准确简述自己观点的能力；

　　3．培养学生动手作图的准确操作的`能力。

　　（三）德育渗透点

　　通过引言的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。

　　（四）美育渗透点

　　通过对圆的进一步学习，使学生既能体会圆的完美性（与其他图形的结合等），又培养美育素质，提高对数学中美的欣赏。

　　二、教学步骤

　　（一）教学过程

　　学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置要进行讨论．有两种情况：①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．怎样才能做出这个圆呢？这时教师出示幻灯片．

　　例1?作圆，使它经过不在同一直线上三点．

　　由学生分析首先得出这个命题的题设和结论．

　　已知：，求作：⊙ O ，使它经过 A 、B 、C 三点．

　　接着教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？由于一开课在设计学校的位置时，学生已经有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：作的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交点 O 就是圆心．圆心 O 确定了，那么要经过三点 A 、 B 、C 的圆的半径可以选 OA 或 OB 都可以．作图过程教师示范，学生和老师一起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确．

　　定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

　　注意：经过在同一条直线上三点不能确定一个圆．

　　这样做的目的，不是教师“填鸭式”地往里灌，而是学生自己经过探索确定圆的条件，这样得到的结论印象深刻，效果要比全部由老师讲更好．

　　接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

　　强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．理解这些术语的意义，指出语言表达的规范化．为了更好地掌握新概念，出示练习题（投影）．

　　练习1：按图填空：

　　（1）是⊙ O 的_________三角形；

　　（2）⊙ O 是的_________圆，

　　这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意．

　　练习2：判断题：

　　（1）经过三点一定可以作圆；（??）

　　（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（??）

　　（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（??）

　　（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（??）

　　（5）三角形的外心到三角形各项点的距离相等．（??）

　　这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性．

　　练习3：

　　经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？

　　练习4：

　　选择题：钝角三角形的外心在三角形（??）

　　（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部

　　练习3．4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性有关．

　　练习5：教材P．59中4题（略）．

　　习题作业的参考方案

　　练习1：内接、外接．

　　练习2：（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√

　　练习3：不一定．因为要想作经过4个点的圆，应先作经过其中不在同一条直线上三点的圆，而第四个点到该圆圆心的距离不一定等于半径．所以经过4个点不一定能作圆．

　　练习4．C

　　练习5．略．

　　（二）总结、扩展

　　师生共同完成总结．

　　知识点方面：

　　2．（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

　　3．

　　方法方面：

　　1．用尺规作三角形的外接圆的方法。

　　2．重点词语的区别：“内接”“外接”。

　　三、布置作业

　　1．教材P68中7、8、9。

　　2．补充作业：已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎。

　　四、板书设计

一元二次方程教案11

　　一、教学目标

　　1、知识与技能目标：认识一元二次方程，并能分析简单问题中的数量关系列出一元二次方程。

　　2、过程与方法：学生通过观察与模仿，建立起对一元二次方程的感性认识，获得对代数式的初步经验，锻炼抽象思维能力。

　　3、情感态度与价值观：学生在独立思考的过程中，能将生活中的经验与所学的知识结合起来，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

　　二、教学重难点

　　重点：理解一元二次方程的意义，能根据题目列出一元二次方程，会将不规则的一元二次方程化成标准的一元二次方程。

　　难点：找对题目中的数量关系从而列出一元二次方程。

　　三、教学过程

　　(一)导入新课

　　师：同学们我们就要开始学习一元二次方程了，在开始讲新课之前，我们首先来看一看第二十二章的这张图片，图片上有一个铜雕塑，有哪位同学能告诉我这是谁吗?

　　生：老师，这是雷锋叔叔。

　　师：对，这是辽宁省抚顺市雷锋纪念馆前的雷锋雕像，雷锋叔叔一生乐于助人，奉献了自己方便了他人，所以即使他去世了，也活在人们心中，所以人们才给他做一个雕塑纪念他，同学们是不是也要向雷锋叔叔学习啊?

　　生：是的老师。

　　师：可是原来纪念馆的'工作人员在建造这座雕像的时候曾经遇到了一个问题，也就是图片下面的这个问题，同学们想不想为他们解决这个问题呢?

　　生：想。

　　师：同学们也都很乐于助人，好那我们看一看这个问题是什么，然后带着这个问题开始我们今天的学习一元二次方程。

　　(二)新课教学

　　师：我们来看到这个题目，要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，雕像的下部应设计为全高?同学们用AC来表示上部，BC来表示下部先简单列一下这个比例关系，待会老师下去看看同学们的式子。

　　(下去巡视)

　　(三)小结作业

　　师：今天大家学习了一元二次方程，同学们回去还要加强巩固，做练习题的1、2(2)题。

　　四、板书设计

　　五、教学反思

一元二次方程教案12

　　课题：一次函数

　　教学目标:1.知道一次函数与正比例函数的意义

　　2.能写出实际问题中正比例函数与一次函数关系的解析式.

　　3.掌握“从特殊到一般”这种研究问题的方法

　　教学重点:将实际问题用一次函数表示.

　　教学难点:将实际问题用一次函数表示.

　　教学方法：讲解法

　　教学过程:

　　一.复习提问

　　1.什么是函数请举例说明.

　　2.购买单价是0.4元的'铅笔,总金额y(元)与铅笔数n(个)关系式是什么

　　3.在上述式子中变量是谁.常量是谁自变量又是谁

　　二.讲解：

　　在前面我们遇到过这样一些函数:

　　y=xs=30t

　　y=2x+3y=-x+2

　　这些函数都使用自变量的一次式来表示的,可以写成y=kx+b的形式

　　一般的,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.

　　特别的,当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k是常数,k≠0),这时y就叫做x的正比例函数.

　　例一:

　　一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加2米/秒.

　　(1)求小球速度v(米/秒)与时间t(秒)之间的函数关系式;

　　(2)求3.5秒时小球的速度.

　　分析:v与t之间是正比例关系.

　　解:(1)v=2t

　　(2)t=3.5时,v=2×3.5=7(米/秒)

　　例二:拖拉机工作时,油箱中有油40升.如果每小时耗油6升,求油箱中的余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式.

　　分析:t小时耗油6t升,从原油油量中减去6t,就是余油量.

　　解:Q=40-6t

　　课堂练习:

　　P961,2

　　小结:一次函数与正比例函数的意义,两者之间的关系,一次函数不一定是正比例函数,而正比例函数一定是一次函数,会将简单的实际问题用一次函数或正比例函数表示出来

　　作业：P971。2。3。4。

一元二次方程教案13

　　教学内容：

　　本节内容是：

　　人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册

　　第22章第2节第1课时。

　　一、教学目标

　　（一）知识目标

　　1、理解求解一元二次方程的实质。

　　2、掌握解一元二次方程的配方法。

　　（二）能力目标

　　1、体会数学的转化思想。

　　2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。

　　（三）情感态度及价值观

　　通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。

　　二、教学重点

　　配方法解一元二次方程的一般步骤

　　三、教学难点

　　具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。

　　四、知识考点

　　运用配方法解一元二次方程。

　　五、教学过程

　　（一）复习引入

　　1、复习：

　　解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

　　2、引入：

　　二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。

　　（二）新课探究

　　通过实际问题的解答，引出我们所要学习的'知识点。通过问题吸引学生的注

　　意力，引发学生思考。

　　问题1：

　　一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

　　问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，

　　具体解题步骤：2解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6xdm2

　　列出方程：60x2=1500

　　x2=25

　　x=±5

　　因为x为棱长不能为负值，所以x=5

　　即：正方体的棱长为5dm。

　　1、用直接开平方法解一元二次方程

　　（1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。

　　（2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。

　　问题2：

　　要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？

　　问题2重在引出用配方法解一元二次方程。而问题2应该大部分同学都不会，所以由我来具体的讲解。主要通过与完全平方式对比逐步解这个方程。再由这个方程的求解过程师生共同总结出配方法解一元二次方程的一般步骤。让学生加深映像。

　　具体解题步骤：

　　解：设场地宽x m，长（x +6）m。

　　列方程： x（x +6）=16

　　即： x2+6x-16=0

　　x2+6x=16

　　x2+6x+9=16+9

　　（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负

　　变式题：m为何实数值时，关于x的方程x2?mx?(3?m)?0有两个大于1的根.

　　例2. 若8x4+8(a－2)x2－a+5>0对于任意实数x均成立，求实数a的取值范围.

　　例3.关于x的方程ax?2x?1?0至少有一个负根,求实数m的取值范围。

　　课堂小练习：

　　【布置作业】

　　省略

一元二次方程教案14

　　教学目标

　　掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

　　重点、难点：

　　二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

　　教学过程：

　　一、情境创设

　　一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标

　　问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？

　　问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？

　　二、探索活动

　　活动一观察

　　在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

　　活动二观察与探索

　　如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:

　　(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)

　　(2)当x=时，函数值y=0。

　　(3)求方程x2-x-6=0的解。

　　(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？

　　活动三猜想和归纳

　　(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的'根的个数有何关系。

　　（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？

　　这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

　　三、例题分析

　　例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

　　(1)y=x2-10x+25

　　(2)y=3x2-4x+2

　　(3)y=-2x2+3x-1

　　例2.已知二次函数y=mx2+x-1

　　(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点

　　(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？

　　(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？

　　四、拓展练习

　　1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

　　(1)请写出方程ax2+bx+c=0的根

　　(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。

　　2.列举一个二次函数，使其图象开口向上，且与x轴交于(-2,0)和(1,0)

　　五、小结

　　这节课我们有哪些收获？

　　六、作业

　　求证：二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴一定有两个不同的交点。

一元二次方程教案15

　　【教材分析】

　　一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。

　　【教学目标】

　　1、理解一元二次方程的概念，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）并知道各项及其系数。

　　2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的进一步认识。

　　【教学重点与难点】

　　理解一元二次方程的概念及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

　　【教法、学法】

　　因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式。本节课借助多媒体辅助教学，指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。

　　【教学过程】

　　一、复习旧知，类比新知

　　1、一元一次方程的概念

　　像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是1(一次)的方程叫做一元一次方程

　　2、一般形式：

　　是常数且

　　设计意图：复习一元一次方程，让学生回忆起一元一次方程的概念，回忆起“项”及“系数”的概念，通过类比，让学生能更好的理解一元二次方程的概念。

　　二、生活情境，自主学习

　　（1）正方形桌面的面积是2m

　　，设正方形桌面的边长是x m，可得方程

　　(2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积是24m2，

　　设花圃的宽是x m则花圃的长是m，